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Karte A41 - Analysis - Differentiation (1) von (3)

[Zahlenfolgen]	[Grenzwerte]	[Stetigkeit]	[Differentiation]	[Integration]
[1] [2] [3]	[1] [2] [3]	[1] [2] [3]	[1] [2] [3]	[1] [2] [3]

Wichtige Definition:
Ist f eine Funktion, die in einer Umgebung U von x0 definiert ist, so nennt man die Funktion D mit den Differenzenquotient der Funktion f an der Stelle x0.
Merke: Der Differenzenquotient beschreibt den Anstieg einer Sekante ms an f im Intervall I [x0 | x0+h].
Übung 1: Wir zeichnen die Funktion f(x) = x2 + 1 in ein Koordinatensystem. Auf Grund der Parabelform kann man für diese Funktion keinen Anstieg angeben, wie das bei einer linearen Funktion möglich ist. Wir können aber eine Sekante im Intervall I[1 | 1+h] einzeichnen und deren Anstieg berechnen. Führen Sie die Berechnungen aus und überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit dem Kontrollbutton.
für h = 1 gilt: D(1) = (f(2)-f(1))/1 = für h = 0.5 gilt: D(0.5) = (f(1.5)-f(1))/0.5 = für h = 0.1 gilt: D(0.1) = (f(1.1)-f(1))/0.1 = für h = 0.01 gilt: D(0.01) = (f(1.01)-f(1))/0.01 = für h = 0.001 gilt: D(0.001) = (f(1.001)-f(1))/0.001 = für h = 0.0001 gilt: D(0.0001) = (f(1.0001)-f(1))/0.0001 =			Die Zahlenfolge D(h)

Übung 2: Die folgende Animation demonstriert das Verhalten des Differenzenquotienten in der Übung 1 in Abhängigkeit von der Intervallbreite h.
Wichtiger Zusammenhang:
Die Zahlenfolge des Differenzenquotienten D(h) strebt für h gegen 0 gegen den Anstieg 2. Allerdings lässt sich dieser Wert 2 nicht mit dem Differenzenquotienten berechnen. Wir erhalten für diesen Fall den undefinierten Ausdruck D(0) = 0/0. Da es sich aber um ein Grenzwertverhalten handelt, können wir die Grenzwertsätze für Funktionen anwenden und notieren: = 2x0 Setzen wir x0 = 1 , so erhalten wir den Grenzwert 2. Die Funktion f(x) = x2 + 1 hat also an der Stelle x0 = 1 den Anstieg 2.
Schlussfolgerung:
Nach einem dialektischen Grundprinzip führen quantitative Änderungen in einem natur- oder gesellschaftswissenschaftlichen Prozess zu einem Umschlag in eine neue Qualität. Im Fall der Zahlenfolge des Differenzenquotienten können wir das Wirken dieses Prinzips beobachten: Die Annäherung des Differenzenquotienten D(h) für h gegen 0 führt zum Umschlag in die neue Qualität. Für h = 0 entsteht aus dem Differenzenquotient der Differentialquotient. Seine Berechnung erfolgt mit dem Grenzwertsatz für Funktionen.
Wichtige Definition:
Ist f eine Funktion, x0 eine Zahl und ist f in einer Umgebung von x0 definiert, dann sagt man: f ist an der Stelle x0 differenzierbar =df Der Grenzwert existiert.
Wichtige Definition:
Ist f eine an der Stelle x0 differenzierbare Funktion, dann heißt der Grenzwert die 1. Ableitung der Funktion an der Stelle x0 oder auch Differentialquotient der Funktion an der Stelle x0.
Übung 3: Berechne für folgende Funktionen den Differentialquotienten an der Stelle x0 = a mit Hilfe des Differenzenqotienten. Wähle die richtige Antwort in der Listbox aus.
Funktion	Ansatz Differentialquotient	Differentialquotient	Auswertung
f(x) = x2 + x		2a + 1 2a a^2 + a
f(x) = x3 + 1		2a^2 + 1 3a^2 3a^2 + a
f(x) = x2 + 2x + 1		2a + 1 2a^2 + 2 2a + 2
f(x) = x3 + x2		3a + 2a 3a^2 + 2a 3a^2 + 2
f(x) = x4		3a^4 + 1 4a^3 + a 4a^3
f(x) = x5 + x3 + x		5a^4 + 3a^2 + 1 5a^5 + 3a 5a^4 + 2a^2